где оговаривается вопрос о том, кто имеет право писать заявление на увольнение работника, если он сам не может

Статья 160 ГК РФ. Письменная форма сделки
3. Если гражданин вследствие физического недостатка, болезни или неграмотности не может собственноручно подписаться, то по его просьбе сделку может подписать другой гражданин. Подпись последнего должна быть засвидетельствована нотариусом либо другим должностным лицом, имеющим право совершать такое нотариальное действие, с указанием причин, в силу которых совершающий сделку не мог подписать ее собственноручно.
Однако при совершении сделок, указанных в пункте 4 статьи 185 настоящего Кодекса, и доверенностей на их совершение подпись того, кто подписывает сделку, может быть удостоверена также организацией, где работает гражданин, который не может собственноручно подписаться, или администрацией стационарного лечебного учреждения, в котором он находится на излечении.

ст 160 ГК это конечно верно, но мароки много. Проще набрать заявление печатным текстом на компе, а расписаться работник сможет и второй рукой. работающей(я так поняла, у него не работает только одна рука).Это не будет нарушением закона, т.к. в ТК специально не оговорено, что всё заявление пишется собственноручно, главное, чтобы подпись стояла.

Я бы все таки прислушалась к совету Александры Поповой. Пусть заверит нотариус или тот, кто имеет право это делать (например, главврач больницы). В ТК , колнечно, нет определения, что заявление должно быть именно написано собственноручно. НО: при желании работник легко сможет оспорить такое заявление. Или доказать, что оно написано не им. А при совете Анюты, что подпись не его. Так что лучше подстраховаться.