Японский театр Кабуки — это СОВРЕМЕННЫЙ театр, или нет?

Нет. Это старинный театр, но существующий до сих пор, т.к. интересен публике.

Нет, самый древний из театров начинает свою биографию с 8 века.
История японского театра Кабуки началась много веков назад, во времена эпохи Токугава (16 век).

Жанр кабуки сложился в XVII веке на основе народных песен и танцев. Начало жанру положила Окуни, служительница святилища Идзумо Тайся, которая в 1602 г. стала исполнять новый вид театрализованного танца в высохшем русле реки близ Киото. Женщины исполняли женские и мужские роли в комических пьесках, сюжетами которых служили случаи из повседневной жизни. Новый жанр быстро стал популярен, Окуни даже приглашали выступать перед Императорским двором. На гребне успеха нового вида театрального искусства начали возникать конкурирующие труппы, что дало начало зарождению театра кабуки, как соединения драматического и танцевального искусства, в котором все роли исполнялись женщинами.
Изначально, кабуки представлял собой в большой степени грубые и неприличные постановки; многие актрисы вели аморальный образ жизни. Из-за этого для названия кабуки иногда использовали омоним (яп. 歌舞妓, кабуки, «театр поющих и танцующих куртизанок»).
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%B1%D1%83%D0%BA%D0%B8
24 ноября 2005 года кабуки вошёл в «Третью Декларацию шедевров устного наследия человечества» Юнеско.

Кабуки - устаревший, сейчас в моде Ябуки.