сколько дней можно просрочить тех. осмотр?

Ну вообще-то не дней - в талоне дата прохождения очередного техосмотра указывается как такой-то месяц такого-то года. На сегодня ситуация, увы, изменилась - при езде без техосмотра в месяц, следующий за указанным, имеют право снять номера и отогнать за Ваш счёт на штрафстоянку. Штраф - по-любому.
Есть исключение : если на руках у Вас диагностическая карта прохождения техосмотра - 20 дней с момента получения можно ездить спокойно ( устраняем недостатки ), потом ещё одна попытка - и ещё 20 дней можно,
на форумах, правда, знающие люди совеуют иметь при себе квитанции оплаты самого техосмотра.
Спасибо за вопрос - я почему-то был уверен,что как и раньше, следующий за указанным месяц можно ездить спокойно.

Это зависит от толщины кошелька. А вообще-то штраф с первого числа следующего за отметкой в талоне месяца.

до первого гаишника

И зачем это делать? Документы на руках. Значит нужно заранее подготовиться и не ждать, когда Вас поймают....и снимут номера.

Месяц

надо сейчас начинать ,чтобы летом не было мучительно жарко в очередях стоять..

ни дня, запрещение эксплуатации со снятием номерных знаков за непройденный ГТО...