Можно ли на DVD-плеере с функцией караоке записывать на диск спетые тобой песни и какой фирмы лучше купить плеер?

нет, для таких целей есть компьютер!

А куда собственно записывать? Как вариант к аудиовыходу подключить какое-то звукозаписывающее устройство.