Чем при увольнение сотрудника отличается статья 80 от ст 78 ТК, будет ли ошибкой если сотрудник уволен по ст 80 ТК ?

В ст. 80 ТК РФ описывается ПОРЯДОК увольнения по собственному желанию, а основанием для увольнения по собственному желанию является п.3 части первой ст. 77 ТК РФ.
Если работник хочет уволиться по ст. 78 ТК РФ , т.е по соглашению сторон, то в этом случае работнику уведомлять работодателя за 2 недели не нужно, как между собой стороны договорятся, так и будет.

п. 1 ч. 1 ст. 77 (соглашение) имеет преимущество: стороны могут договориться о сроке увольнения, тогда как п. 3 ч. 1 ст. 77 (инициатива работника) обязывает его предупредить о желании уволиться за 14 дней.
В соглашении также можно указать размер выплаты при увольнении...

В трудовой книжке не указывается ни статья 80 (при увольнении по собственному желанию), ни статья 78 (при расторженнии трудового договора по соглашению сторон).

При увольнении используются только три статьи!!! Это 77, 81 и 83.