Брат написал заявление на увольнение и на следующий день заболел,войдут ли дни болезни в двух недельную отработку?

да (ст.80 ТК РФ), люди даже специально уходят на больничный на эти 2 недели...

Это Бог показал Вашему брату, как можно обезопасить себя, когда написал заявление на увольнение.
Большинство нормальных людей так и делают: пишут заявление - и на больничный (выражаюсь словами своего коллеги Астролога).

войдут.

Согласно статьи 80 Трудового кодекса - работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Понятия "отработка" нет в Трудовом кодексе, есть понятие "предупреждение", так что дни болезни однозначно войдут в данный двухнедельный срок.

да..

они войдут в срок, за КОТОРЫЙ НАДО ПРЕДУПРЕДИТЬ работодателя!

конечно, большинство так и делает))