Если начальник, при подаче заявления на увольнение, озвучил сотруднику срок отработки 2 недели и не подписал заявление,

Работник обязан предупредить администрацию об уходе за 2 недели. Если в течение этого периода он захочет забрать заяву и работать дальше - это его право, даже в последний день. На основании этого заявления вы его уже не уволите. Надо придумывать другую причину (типа несоответствие и т.п.). Лучше всего договориться полюбовно - по собственному или по соглашению.

Вполне !

Подписать заявление и пусть идет куда хочет!

нет ненужно

Даже если заявление подписано, в течение срока отработки работник может отозвать свое заявление, в случае, если на его место в письменной форме не приглашен другой человек.

зарегистрируйте свое заявление

Пусть пишет встречное заявление (прошу отозвать заявление на увольнение от такого-то числа)....

если вы выступаете от имени работодателя, то в этом случае, по собственному желанию уволить его вы уже не можете, но! - только в том случае если работник озвучил свое делание остаться и отозвал заявление, в этом случае можно попробовать по "согласованию сторон".
Если работник просто в курилке произнес эту фразу, то ничего страшного заявление подписанное у вас, вы ничего не знаете, отзыв заявления не происходил, спустя две недели спокойно отдайте ему расчет и трудовую книжку.
такой не постоянный сотрудник ...( может еще сто раз передумает....
а с работой справляется? не пьет? - а то можно попробовать....прогул, алкогольное опьянение....