Работник уволен по сокращению штата. Как ему выплачивается компенсация, на предприятии или в Центре занятости населения?

Компенсации выплачивает работодатель.
За первый месяц - в день увольнения.
По истечению двух месяцев после увольнения (за второй месяц) - идете в отдел кадров с трудовой книжкой пишите заявление о выплате компенсации за второй месяц (на нормальных предприятиях издается приказ , трудовая книжка необходима для того, чтобы работодатель удостоверился, что вы не трудоустроились) копию трудовой прикладываете к заявлению (лицевая часть и где последняя запись).
Решение о выплате компенсации за третий месяц принимается органом занятости (хотя платит всё равно работодатель), если вы в течении двух недель после увольнения обратились в органы занятости по месту жительства, и не были им трудоустроены. Там вам выдадут справочку, которую вы и отнесете работодателю. На основании этой справки вам и произведут выплату.
Надо ли говорить, что у вас должны оставаться "следы"
заявлений, справок?

Выплачивает организация в течение 3 месяцев.

При увольнении ему выплачивается (помимо других выплат) 1 средний заработок - это выходное пособие за 1 месяц.
Если через 2 месяца работник не трудоустроился, то он идёт с трудовой книжкой на бывшее место работы и там ему выплачивают ещё 1 срений заработок.

Если же ещё через месяц он не найдёт работу (а также если в течении 2 недель после увольнения он встал на учёт в Службу занятости населения и вовем ходил туда в назначенное время отмечаться), то Служба занятости выдаёт ему справку и с этой справкой он идёт снова на прежнее место работы и там ему выплачивают ещё 1 средний заработок.