Занимается - Meldebehörde - орган власти, ведающий пропиской или регистрацией.
А вот оформить это стол прописки (Bürgerbüro).
Bürgeramt
Вообще-то общее название - Einwohnermeldeamt, а Meldebehörde или Bürgerbüro -это столы пропискi в зависимости от местности и их нахождения. В моем поселке это вообще делает Gemeinde (община,"сельсовет")))
А вот оформить это стол прописки (Bürgerbüro).